Exponentielle Veränderung

Exponentiell: Wachstum & Zerfall

Exponentielles Wachs­tum (bzw. ex­po­nen­tiel­ler Zer­fall) be­schreibt ei­nen Vor­gang, bei dem sich ein Wert in glei­chen (zeit­li­chen) Ab­stän­den im­mer um den­sel­ben Fak­tor än­dert. Die Funk­tions­glei­chung lau­tet:

 N_t = N₀ · a^t

Nt	die An­zahl bzw. Größe von ei­nem Wert N nach der Zeit t bzw. nach t Schrit­ten, also der End­wert.
N0	die Anzahl bzw. Größe von ei­nem Wert N zur Zeit „0“ (oder vor dem er­sten Schritt), also der Start­wert.
a	Wachstums- bzw. Zer­falls­fak­tor. Es gilt a ∈ ℝ+\1, a ist al­so ei­ne po­si­ti­ve, re­elle Zahl und un­gleich 1. Wenn a < 1, geht es um ei­ne Ab­nah­me (Zer­fall).
t	An­zahl Schrit­te (oder Zeit­ab­schnit­te).

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Aufgabenbeispiele

1. Schachlegende
Der Erfinder des Schachspiels hatte bei sei­nem Herr­scher ei­nen Wunsch frei. Er wünsch­te sich bloß „ein paar“ Reis­kör­ner. Auf dem er­sten Feld ein Korn, auf dem zwei­ten 2 Kör­ner, auf dem drit­ten 4 Kör­ner, usw. Wie hoch wä­re der ge­wünsch­te Lohn des Er­fin­ders?

Lösung:

Auf dem 64. Feld hat es 1 · 2⁶³ = 9'223'372'036'854'775'808 ≅ 9.2 Tril­lio­nen Reis­kör­ner.
Die­ser, auf den er­sten Blick ein­fa­che Wunsch, ist in Wirk­lich­keit un­er­füll­bar (Re­sul­tat: etwa 1000fa­che Welt­jah­res­ern­te!).

2. Virenbefall
Ein Organismus ist von 500 Viren be­fal­len, die sich (für ei­ne Zeit lang) ex­po­nen­tiell ver­meh­ren. Wäh­rend je­der Stun­de wächst ih­re An­zahl um 20%. Wie groß ist die An­zahl Vi­ren nach 10 Stun­den?

Lösung:

Nach 10 Stunden sind es N₍₁₀₎ = 500 · 1.2¹⁰ = 3095.8 Vi­ren.

3. Zinseszins
Ein Neugeborenes er­hielt von sei­nem Tauf­paten ein Spar­buch mit einer Ein­lage von 100 CHF. Lei­der wur­de das Spar­buch ver­ges­sen. Nun hat sich ei­ni­ges an Zin­ses­zins an­ge­häuft. Wir ge­hen von ei­nem kon­stan­ten Zins­fuß von 3% (→ jähr­li­cher Fak­tor 1.03) aus. Wel­cher Be­trag be­fin­det sich nach 20 Jah­ren auf die­sem Kon­to?

Lösung:

Nach 20 Jahren sind es N₍₂₀₎ = 100 · 1.03²⁰ = 180.61 CHF.